We establish a Liouville comparison principle for entire sub- and super-solutions of the equation     in the half-space  , where  ,   and  ,  . In our study we impose neither restrictions on the behaviour of entire sub- and super-solutions on the hyper-plane  , nor any growth conditions on their behaviour or on that of any of their partial derivatives at infinity. We prove that if  , and u and v are, respectively, an entire weak super-solution and an entire weak sub-solution of (⁎) in   which belong, only locally in  , to the corresponding Sobolev space and are such that  , then  . The result is sharp. As direct corollaries we obtain both new and known Fujita-type and Liouville-type results.

Nous établissons un critère de comparaison de type de Liouville pour des sous- et super-solutions entières de lʼéquation     dans le demi-espace  , où  ,   et  ,  . Dans notre étude, nous nʼimposons ni des restrictions sur le comportement des sous- ou super-solutions entières sur le hyper-plan  , ni des conditions de croissance sur le comportement à lʼinfini de ces solutions ou de leurs dérivées partielles. Nous démontrons que si  , et u et v constituent, respectivement, une super-solution faible entière et une sous-solution faible entière de (⁎) dans   qui appartiennent, localement en  , à lʼespace de Sobolev approprié, et qui sont telles que  , alors  . Ce résultat est précis. Comme corollaires immédiats, nous obtenons des nouveaux résultats, ainsi que des résultats connus de type Fujita et Liouville.