A smooth closed curve in RPⁿ is called convex if any hyperplane intersects it in at most n points, taking multiplicities into account. A convex curve has no flattening and its osculating hyperplane intersects it only at the point of osculation. A closed curve in RP² (in R²) is convex if and only if it has these two properties. Answering a question of V.I. Arnol'd ([2,3] and [4]), we show that, for n>2, these two properties do not imply the convexity of closed curves in RPⁿ. To cite this article: R. Uribe-Vargas, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 47-52.

Une courbe lisse fermée dans RPⁿ est appelée convexe si chaque hyperplan l'intersecte en au plus n points, compte tenu des multiplicités. Une courbe convexe n'a pas d'aplatissement et son hyperplan osculateur ne l'intersecte qu'au point d'osculation. Une courbe fermée dans RP² est convexe si et seulement si elle a ces deux propriétés. En réponse à une question de V.I. Arnol'd ([2,3] et [4]), nous montrons que pour n>2, ces deux propriétés n'impliquent pas la convexité des courbes fermées dans RPⁿ. Pour citer cet article : R. Uribe-Vargas, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 47-52.