We present a general framework linking cut-off and exit excursions for birth-and-death processes on a countable alphabet. Under suitable hypotheses, we prove that cut-off convergence towards a (local) equilibrium is accompanied by exponentially distributed out-of-equilibrium excursions. Furthermore, atypical trajectories leading to these excursions and final cut-off trajectories are related by time inversion; in particular their time lengths have identical laws. To cite this article: O. Bertoncini et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Nous présentons un cadre général qui relie cut-off et excursions de sortie pour des processus de naissance et de mort sur un alphabet dénombrable. Sous des hypothèses adaptées, nous montrons que le cut-off vers un équilibre (local) est accompagné par une distribution exponentielle des temps de sortie de lʼéquilibre. De plus, les trajectoires atypiques menant à ces excursions sont les renversées temporelles de trajectoires de cut-off ; en particulier leurs durées suivent la même loi. Pour citer cet article : O. Bertoncini et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).